오일러 방법 예제

    우리는 함께 초기 값에서 시작하고 방향 필드에 표시된 방향으로 진행하여 오일러의 방법및 테이블을 사용하여 몇 가지 초기 값 문제를 해결할 것입니다. 미분 방정식은 y ′ = f (t , y) {디스플레이 스타일 y`=f (t,y)} . 이것이 테일러 확장에서 대체되고 이차 및 고차 용어가 무시되는 경우, 오일러 방법이 발생합니다. [7] 테일러 확장은 오일러 방법에 의해 커밋 된 오류를 분석하기 위해 아래사용되며, Runge-Kutta 방법을 생성하기 위해 확장 될 수있다. 오일러 메서드는 1차 메서드로, 이는 로컬 오류(단계당 오차)가 단계 크기의 제곱에 비례하고 전역 오차(지정된 시간에 오류)가 단계 크기에 비례한다는 것을 의미합니다. 오일러 메서드는 종종 더 복잡한 방법(예: 예측 변수-코렉터 메서드)을 구성하는 기초역할을 합니다. 이 경우 솔루션 그래프는 약간 곡선이므로 오일러의 Method에서 상당히 가까운 결과를 생성하는 것은 „쉬운 일“입니다. 따라서, 오일러의 방법은 빠르게 변경되지 않는 상당히 좋은 솔루션을 근사화하기위한 좋은 방법입니다. 그러나 모든 솔루션이 멋지게 행동되는 것은 아닙니다. 솔루션을 근사화하는 훨씬 더 나은 작업을 수행하는 다른 근사 방법이 있습니다.

    그러나 이 과정의 초점은 아니므로 관심이 있으시면 이 필드를 자세히 살펴보겠습니다. 이 특정 질문은 실제로 대수적으로 쉽게 해결할 수 있으며 변수 분리 섹션에서 다시 했습니다. (예 7이었다.) 우리는 오일러의 방법 공식을 배우는 것으로 시작합니다. 지금까지의 토론은 반올림 오류의 결과를 무시했습니다. 오일러 방법의 단계 n에서 반올림 오차는 대략 크기 θyn이며 여기서 θ는 기계 엡실론입니다. 반올림 오류가 모두 거의 같은 크기라고 가정하면 모든 오류가 동일한 방향으로 가리키는 경우 N 단계의 결합된 반올림 오차는 대략 Nθy0입니다. 단계 수는 단계 크기 h에 반비례하기 때문에 총 반올림 오차는 θ/h에 비례합니다. 그러나 실제로는 모든 반올림 오류가 동일한 방향으로 가리키는 것은 극히 드뭅없습니다.

    대신 반올림 오류가 독립적인 임의 변수라고 가정하면 예상 총 반올림 오차는 θ/h {디스플레이 스타일 varepsilon /{sqrt {h}}}에 비례합니다. [19] 마지막 용어는 `h`시간 우리의 `dy/dx` 표현식, 그래서 우리는 다음과 같이 오일러의 방법을 쓸 수 있습니다: Euler 방법에 의해 도입 된 로컬 잘림 오류 (LTE) 이러한 방정식 의 차이에 의해 주어진다: 지금, 두 번째 단계, (이후 `h=0.1` , 다음 점은 `x+h=2+0.1=2.1`입니다, 우리는 우리가 오일러의 방법 수식으로 알고있는 것을 대체하고, 우리는있다 : 오일러 방법은 선형 방정식 y에 적용되는 경우 ′ = k y {displaystyle y`=ky} , 다음 수치 솔루션은 제품 h k {displaystyle hk} i s 영역 외부이 계산의 결론은 y 4 = 16 {displaystyle y_{4}=16} 입니다.